数学中，流形 M 上一个向量值微分形式（vector-valued differential form）是 M 上取值于一个向量空间 V 的微分形式。更一般地，它是取值于 M 上某个向量丛 E 的微分形式。通常的微分形式可以视为 R-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。 设Μ是一个光滑流形，。
PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元（Proportional）、积分单元（Integral）和微分单元（Derivative）组成。可以透过调整这三个单元的增益Kp{\displaystyle K_{p}}，Ki{\displaystyle K_{i}}和Kd{\displaystyle。
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P I D kong zhi qi （ bi li - ji fen - wei fen kong zhi qi ） ， you bi li dan yuan （ P r o p o r t i o n a l ） 、 ji fen dan yuan （ I n t e g r a l ） he wei fen dan yuan （ D e r i v a t i v e ） zu cheng 。 ke yi tou guo tiao zheng zhe san ge dan yuan de zeng yi K p { \ d i s p l a y s t y l e K _ { p } } ， K i { \ d i s p l a y s t y l e K _ { i } } he K d { \ d i s p l a y s t y l e 。
derivative），通过ln(f(x)){\displaystyle \ln(f(x))}的导数的方法计算f′(x){\displaystyle f'(x)}叫做对数微分。 自然对数的导数性质导致了ln(1+x){\displaystyle \ln(1+x)}在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数：。
在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 Rm 到 Rn 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 φ 是一个局部微分同胚，那么在 x 点的前推是可逆的，其逆给出 Tφ(x)N 的拉回。 另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。 微分经常有其他一些记法，比如。
也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。。
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微分迭'是代数几何中的代数迭在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的迭，也可描述为森田等价下的李群胚。 微分迭很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分迭在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。 回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴。
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微分学（英语：Differential calculus）是微积分学的一部份，是通过导数和微分来研究曲线斜率、加速度、最大值和最小值的一门学科，也是探討特定数量变化速率的学科。微分学是微积分的二个主要分支之一。 微分学主要研究的主题是函数的导数、相关的標示方式（例如微分。
微分几何研究微分流形的几何性质，是现代数学中的一主流研究方向，也是广义相对论的基础，与拓扑学、代数几何及理论物理关係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是。
微分拓扑是一个处理在微分流形上的可微函数的数学领域。很自然地，它是在研究微分方程理论的过程中被提出来的。微分几何是用微积分来研究几何的学问。这些领域非常接近，在物理学，特别在相对论方面有许多的应用。它们合在一起还建立了可从动力系统观点直接研究的、 可微流形的几何理论。。
光滑流形（英语：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分。
在数学中，集合M上的一个n-维微分结构（differential structure）或可微结构（differentiable structure）是一个带有附加结构（使得我们可以在该流形上做微积分）的拓扑流形，使其成为一个n-维微分流形。如果M已经是一个拓扑流形，我们要求新拓扑与原来已有的拓扑相同。 对一个自然。
数学上，分数微积分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子D=ddx{\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。 在这个上下文中，幂指反复应用，和。
微分几何中，有多个二阶线性椭圆型微分算子称为拉普拉斯算子（Laplace operator 或 Laplacian）。本文给出它们的一个概览。 联络拉普拉斯算子（connection Laplacian）是作用在流形上多个张量丛上的微分算子，利用一个黎曼或伪黎曼度量来定义。当作用在函数（即秩为 0。
在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 φ:M→ N 是从光滑流形 M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从 N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由 φ 拉回，经常记作 φ*。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由。
微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），把积变为求和，把商变为做差。这一方法可以应用于所有恒不为0的可微函数。 对于某函数 y=f(x){\displaystyle y=f(x)\,\!} 运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数。。
1.4=2.8}。 微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx{\displaystyle \mathrm {d} x}，换句话说，函数的微分与自变量的微分。
理论物理学中，广义协变性（又称为微分同胚协变性、广义不变性）为物理定律的形式在任意微分座標转换下保持不变。其精神在於座標並非先验地存在於自然中，而是人们欲描述自然所伴隨的人工产物；也因此不应在基本物理定律中具有实质物理意义。 以广义协变性表示的物理定律，在所有座標系中皆应保持相同的数学形式。欲达成。
微分代数（英语：Differential algebra）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。。
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由于一个向量空间上 k 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 k-向量空间的对偶，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛。这样的霍奇对偶特別常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数构造余微分。
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般的偏微分方程(PDE)系统。嘉当加入了外导数，作为一个完全几何式的坐标无关的操作。这很自然导致了对于一般的p讨论p-形式的需要。嘉当描述了Riquier的一般PDE理论对他的影响。 基于这些基础，即李群和微分形式，他继续深入完成了大量工作，以及一些通用的技术，例如移动标架法，这些逐渐融入到数学的主流中。。
